Volné otáčení osově symetrického tělesa
Simulace ve fyzice
Přeloženo z internetových stránek FREE ROTATION OF AN AXIALLY SYMMETRICAL BODY verze z 20. února 2006.Autor: prof. E. Butikov, Petrohradská státní univerzita -> Autorova domovská stránka
Přeložila Martina Pulkrábková jako součást diplomové práce Stabilizace umělých družic MAGIONMalý simulační program (Java-applet) ukazuje volné otáčení symetrického tělesa, které má dva ze tří hlavních momentů setrvačnosti stejné. V kinematice tento pohyb nazýváme precesní pohyb a pozorujeme ho u setrvačníků (viz „Forced precession of a gyroscope“).
Rotace (otáčení) tuhého tělesa kolem pevného bodu je charakterizovaná vektorem okamžité úhlové rychlosti. Každý bod rotujícího tělesa má rychlost, která je v každém okamžiku stejná, jako kdyby se těleso otáčelo kolem pevné osy směřující stejným směrem jako vektor úhlové rychlosti. V obecném případě se však vektor úhlové rychlosti a tedy i směr okamžité osy otáčení v prostoru mění. Tento podivný pohyb osy otáčení je označován jako precese. Dokonce i v případě, že nepůsobí žádné vnější síly, vypadá pohyb osy otáčení dost komplikovaně, a trajektorie různých bodů tělesa jsou ještě komplikovanější.
Vektor momentu hybnosti L rotujícího tuhého tělesa souvisí s vektorem okamžité úhlové rychlosti ω, ale obecně se směr L v prostoru může lišit od směru ω. Jejich směry se shodují pouze v případě, že úhlová rychlost směřuje podél jedné ze tří vzájemně kolmých hlavních os setrvačnosti tělesa. U symetrických homogenních těles jsou tyto hlavní směry totožné s osami symetrie. Například hlavní osy setrvačnosti u kvádru prochází hmotným středem rovnoběžně k hranám. Momenty setrvačnosti vypočítané vzhledem k hlavním osám setrvačnosti procházející hmotným středem se jmenují hlavní momenty setrvačnosti.
Volná rotace tuhého tělesa kolem hlavní osy setrvačnosti je velmi jednoduchý pohyb. Pro tento případ mají vektory L a ω stejný směr. Když nepůsobí žádné vnější síly, vektor momentu hybnosti L zůstává konstantní, a tedy i směr a velikost vektoru úhlové rychlosti ω zůstává konstantní. Z tohoto důvodu se hlavní osy setrvačnosti nazývají také osy volné rotace. Pokud se tuhé těleso otáčí kolem jedné z těchto os, pohyb je stále stejný kolem osy, jejíž směr se v tělese ani v prostoru nemění. Všechny body tělesa opisují soustředné kružnice, jejichž středy leží na této ose.
Je-li vektor počáteční úhlové rychlosti odchýlený od hlavní osy setrvačnosti, rotace je poměrně jednoduchá pro tělesa, která nazýváme symetrický setrvačník. Symetrický setrvačník je těleso, které má dva ze tří hlavních momentů setrvačnosti stejné. Například hůl nebo tyč s kruhovým nebo čtvercovým průřezem, stejně jako jakýkoli hranol nebo pyramida se základnou pravidelného mnohoúhelníku (včetně trojúhelníku), kruhový disk, válec nebo kužel, elipsoid, atd. Tělesa však musí být homogenní. Pokud se takový objekt roztočí kolem osy symetrie, moment hybnosti také směřuje podél této osy. Pokud se vektor úhlové rychlosti odchyluje od osy symetrie pod nějakým úhlem, směry vektoru L a vektoru ω nesplývají, ale oba leží ve stejné rovině s osou symetrie tělesa.
Vezmeme-li v úvahu vzájemnou polohu momentu hybnosti, úhlové rychlosti a osy tělesa, snadno můžeme ukázat, že v případě, kdy nejsou žádné momenty vnějších sil vzhledem k ose tělesa, tak vektor okamžité úhlové rychlosti koná precesní pohyb kolem pevného směru, který je dán vektorem momentu hybnosti L. Jinými slovy, osa tělesa a úhlová rychlost se pohybují synchronně v prostoru a opisují rotační kužely, které mají společný vrchol v těžišti tělesa. Úhly u vrcholů těchto kuželů zůstávají konstantní v průběhu celé rotace tělesa. Klikněte zde, kde je možné pozorovat simulaci takového pohybu (v levé části okna apletu).
Simulace nabízí různé možnosti. Můžete ji pozastavit a pak dále pokračovat kliknutím na tlačítko „Start/Stop“ na ovládacím panelu umístěném na levé straně okna apletu. Tento panel také umožňuje měnit parametry systému a podmínky simulace. Táhnutím ukazatele myši uvnitř okna apletu (pohybem ukazatele se zmáčknutým levým tlačítkem myši) můžete rotovat obrázkem okolo vertikální a horizontální osy a získat tím lepší úhel pohledu podle vlastní volby.
Vektor úhlové rychlosti (žlutá šipka na černém pozadí) ukazuje v prostoru směr okamžité osy rotace. Soubor těchto okamžitých os v různých časových okamžicích tvoří v prostoru rotační kužel, jehož vrchol je v těžišti tělesa a jehož osa míří podél vektoru momentu hybnosti L (vertikálně na obrazovce). Tento prostorový kužel (v prostoru pevný) se nazývá herpolodiový kužel (viz pravá strana okna apletu).
Dále vidíme ještě jeden rotační kužel pevně spojený s tělesem. Vrchol tohoto kužele je také v těžišti tělesa a jeho osa směřuje podél osy symetrie tělesa. Tento kužel je vytvářen vektorem úhlové rychlosti ω (žlutá šipka na obrazovce), to znamená okamžitou osou rotace. Jinými slovy, boční povrch tohoto kužele spojený s tělesem je tvořen souborem okamžitých os rotace v různých časových okamžicích. Ukazuje, jak jsou tyto osy uvnitř tělesa rozmístěny. Tento myšlený kužel pevně spojený s rotujícím tělesem je nazýván polodiový kužel.
Pohyblivý kužel se dotýká nepohyblivého kužele boční plochou podél vektoru ω (zvenku protáhlého tělesa, které má příčnou složku momentu setrvačnosti větší než podélnou). Všechny body tělesa, které se v daném okamžiku nacházejí na okamžité ose rotace, mají nulovou obvodovou rychlost. To znamená, že pohyblivý kužel (spojený s tělesem) se valí bez prokluzování po povrchu nehybného kužele. Tato jasná interpretace kinematiky volné precese je ukázána na pravé straně apletu. (Klikněte zde)
Také si můžeme tento zřejmý geometrický výklad volné precese (valení pohybujícího kužele bez klouzání po povrchu nepohyblivého kužele) ukázat jako rozklad vektoru okamžité úhlové rychlosti ω do dvou složek, které jsou v apletu znázorněny červenými šipkami. Jedna z těchto složek odpovídá rotaci tělesa podél osy symetrie. Tato složka úhlové rychlosti míří podél osy symetrie, což je směr, který se uvnitř tělesa nemění. V prostoru tato složka vytváří rotační kužel spolu s osou tělesa. Druhá složka nemění svůj směr v prostoru. Odpovídá precesi osy symetrie okolo momentu hybnosti L, jehož směr v prostoru (vertikální na obrazovce) je zachován, když nepůsobí momenty vnějších sil.
Body tělesa ležící na ose jeho symetrie opisují kruhové dráhy, jejichž středy leží na ose nepohyblivého kužele, to znamená na ose precese (vertikálně na obrazovce). Komplikovaný pohyb bodů, které neleží na ose symetrie, můžeme popsat jako superpozici dvou poměrně jednoduchých pohybů, a to jako rotaci kolem osy symetrie se souběžným pohybem osy v prostoru (precese) podél povrchu vertikálního kužele. Simulační program může ukázat trajektorie těchto bodů. Chcete-li to ukázat, označte zaškrtávací políčko na ovládacím panelu s nápisem „Stopa bodu“ a uveďte požadované polohy bodu zadáním úhlu mezi osou tělesa a směrem požadovaného bodu. Pro pohodlnější pozorování program ukazuje trajektorii stopy konce dlouhé myšlené šipky pevně spojené s tělesem vedené požadovaným bodem. Koncový bod šipky leží mimo povrch ohraničeného tělesa. Všechny body této šipky (začínající v těžišti) opisují podobné trajektorie, ale cesty jejich koncových bodů jsou zobrazeny ve větším měřítku. Klikněte zde, aby bylo možné pozorovat trajektorii bodu umístěného na povrchu pohyblivého kužele. (Původně tento bod leží na okamžité ose.)
Geometrická interpretace volné rotace symetrického tělesa je použitelná i pro zvláštní případ tělesa, jehož podélné a příčné momenty setrvačnosti si jsou rovny. Pro takové těleso, nazývané kulový setrvačník, jsou si momenty setrvačnosti pro všechny možné osy procházející těžištěm rovny. Tato tělesa nemusí být nutně sféricky symetrická, platí to i pro krychle, čtyřstěny nebo jakékoli pravidelné mnohostěny. S ohledem na rotaci jsou všechna dynamicky ekvivalentní, tudíž to jsou kulové setrvačníky. Pro tato tělesa mají úhlová rychlost a moment hybnosti vždycky společný směr a libovolná osa je osou volné rotace. To znamená, že pro kulové setrvačníky vektor úhlové rychlosti ω a okamžitá osa rotace drží v prostoru stálý směr (bez precese) a nepohyblivý kužel degeneruje do polopřímky směřujícího podél momentu hybnosti L (vertikálně na obrazovce). Valení pohyblivého kužele spojeného s tělesem se redukuje na případ rovnoměrné rotace tohoto kužele kolem vertikální polopřímky. Tato polopřímka (zdegenerovaný nepohyblivý kužel) leží na bočním povrchu pohybujícího se kužele a směřuje podél ω. Každý bod tělesa (řekněme, že konec šipky je zastrčený do tělesa) vytváří kruhové dráhy se středem na ose rotace. Klikněte zde pro simulaci volné rotace sféricky symetrického tělesa.
Myšlený kužel pevně spojený s tělesem pro zploštělé symetrické těleso se dotýká nepohyblivého prostorového kužele zevnitř u jeho vnitřního povrchu. Geometrický výklad volné rotace v tomto případě je méně zřejmý a dokonce i svým způsobem neintuitivní. Všimněme si, že když osa symetrie tělesa vykonává precesní pohyb proti směru hodinových ručiček a široký pohybující se kužel se valí bez klouzání po vnitřním povrchu obálky nepohyblivého kužele, těleso samo o sobě rotuje kolem své osy ve směru hodinových ručiček – v opačném smyslu vzhledem k precesi. Jasněji je to vidět, když si vektor úhlové rychlosti (žlutá šipka na obrazovce) rozložíme na složky (červené šipky) odpovídající precesi a ose rotace: složka, která odpovídá rotaci, vytváří tupý úhel s L (směr dolu na obrazovce). Klikněte zde pro simulaci volné rotace zploštělého tělesa.
Podrobný teoretický popis volné rotace osově symetrického tělesa v angličtině můžete najít na stránkách „Inertial Rotation of a Rigid Body“.
Porozumění volné (bez momentů vnějších sil) rotace osově symetrického tělesa je důležitým předpokladem pro studium neintuitivního chování setrvačníků, jejichž precese pod vlivem vnějších momentů sil je obecně složitější o nutaci (viz. „Precession and Nutation of a Gyroscope“).
Ovládání programu
Simulační program umožňuje měnit parametry systému a podmínky simulace. Můžete jednoduše otáčet krychlí s obrazem tělesa kolem svislé a vodorovné osy (pro vhodnější úhel pohledu) chycením ukazovátka myši uvnitř okna apletu (pohybující ukazatel se stisknutým levým tlačítkem myši). Pokud budete navíc držet klávesu „Ctrl“ na klávesnici, obraz se bude pohybovat v požadovaném směru. Pokud budete držet klávesu „Shift“, tažením myši můžete změnit měřítko – obrázek bude blíže nebo dále (větší nebo menší).
Rotace tělesa může být znázorňovaná ve vhodném časovém měřítku. Chcete-li měnit časové měřítko, můžete měnit hodnoty zpoždění (v milisekundách) přetažením posunovátka ve spodní části ovládacího panelu. Funkce ostatních ovládacích prvků jsou poměrně zřejmé. Horní tlačítko spouští a zastavuje simulaci. Druhé tlačítko umožňuje ukazovat simulaci po krocích. Třetí tlačítko („Obnovit“) obnoví výchozí nastavení. Čtvrté tlačítko („Reset“) nastaví základní hodnoty.
Při prvním setkání s programem si můžete místo vlastního nastavení parametrů otevřít seznam předdefinovaných příkladů a nějaký vhodný si z nich vybrat. Provést vlastní experiment můžete změnou hodnot parametrů buď tažením posunovátka, nebo zadáním požadovaných hodnot na klávesnici. Než začnete měnit parametry, měli byste pozastavit simulaci tlačítkem „ Start/Stop“. Když budete zadávat nové parametry klávesnicí, barva v pozadí se změní na zářivě žlutou. Pokud chcete ukončit nastavování, stiskněte klávesu „Enter“. Pokud je hodnota přípustná, barva okna se změní zpět na obvyklou barvu.
Dva hlavní momenty setrvačnosti: jeden kolem osy symetrie a druhý kolem k ní kolmé osy jdoucí těžištěm tělesa – vystihují setrvačné vlastnosti, které charakterizují rotaci symetrického tělesa. Pouze poměr těchto momentů setrvačnosti je podstatný pro simulaci. V programu je tento poměr příčného a podélného momentu setrvačnosti definován parametrem „Protáhlost“. Dovolené hodnoty tohoto parametru leží v intervalu od 0,5 do 5,0. Pokud se tento parametr rovná 1, příčný moment setrvačnosti je roven podélnému, a to je charakteristické pro sféricky symetrické těleso nebo pravidelný mnohostěn. Pro protáhlé těleso (roztáhlé podél osy symetrie) je tento parametr větší než 1, zatímco pro zploštělé (zmáčknuté) těleso je menší než 1.
Další parametr, který můžeme v simulačním programu měnit, je úhel mezi osou symetrie tělesa a směrem vektoru úhlové rychlosti (směr okamžité osy rotace). Na ovládacím panelu programu je tento úhel označen „Odchýlení“. Hodnota tohoto úhlu by měla být zapsána ve stupních. Možné hodnoty leží v intervalu od 0 do 40 stupňů. Velikost úhlové rychlosti se může měnit v intervalu od 0,5 do 10 libovolné jednotky. Změna tohoto parametru ovlivňuje rychlost rotace, ale nemění charakteristické vlastnosti pohybu tělesa.
Již dříve jsme zmínili, jak je možné přepnout na vykreslování trajektorie libovolného bodu tělesa označením tlačítka „ Ukázat trajektorii bodu“ v ovládacím panelu a nastavit požadovanou pozici bodu pomocí úhlu (tlačítkem „Úhel bodu“). Barva pozadí okna apletu závisí na zaškrtávacím políčku „Tmavé pozadí“.
Tento aplet byl vytvořen pomocí programu Easy Java Simulations vyvinutého Francisco Esquembre, profesorem na University of Murcia, Španělsko.